72의 법칙과 필요 수익률 계산

1. 72의 법칙에 대한 수학적 검증

72의 법칙은 자산이 복리로 두 배가 되는 데 걸리는 시간을 간단하게 암산하는 공식입니다. (걸리는 시간 $\approx$ 72 / 연평균 수익률). 이 공식이 도출되는 수학적 원리는 다음과 같습니다.

원금 $P$가 연 수익률 $r$로 복리 증식되어 2배($2P$)가 되는 데 걸리는 시간 $t$를 구하는 방정식입니다. $$ 2P = P(1 + r)^t $$ $$ 2 = (1 + r)^t $$

양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다. $$ \ln(2) = t \cdot \ln(1 + r) $$

$\ln(2)$의 값은 약 0.693입니다. 또한, $r$이 충분히 작을 때(보통 10% 미만) 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)에 의해 $\ln(1 + r) \approx r$로 근사할 수 있습니다. $$ 0.693 \approx t \cdot r $$ $$ t \approx \frac{0.693}{r} $$

여기서 수익률을 소수(예: 0.05)가 아닌 백분율 단위 $R$(예: 5)로 표현하기 위해 $r = R / 100$을 대입합니다. $$ t \approx \frac{69.3}{R} $$

수학적으로는 '69.3의 법칙'이 가장 정확하지만, 실생활에서는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 등 약수가 많아 암산이 편리한 숫자 72를 차용하여 '72의 법칙'으로 널리 통용됩니다.

2. 계산 예시: 100만 원 $\rightarrow$ 4,000만 원 (Calculation Example: 1M $\rightarrow$ 40M)

[한국어]

목표: 1살 아이에게 100만 원을 주었을 때, 20년 후 대학 등록금 4,000만 원을 만들기 위해 필요한 연평균 수익률(CAGR) 계산.

• 현재 가치 (PV): 1,000,000원
• 미래 가치 (FV): 40,000,000원
• 투자기간 (t): 20년

복리 계산 공식에 변수를 대입합니다. $$ FV = PV \times (1 + r)^t $$ $$ 40,000,000 = 1,000,000 \times (1 + r)^{20} $$ $$ 40 = (1 + r)^{20} $$

양변에 $\frac{1}{20}$ 제곱을 취하여 $r$을 구합니다. $$ 1 + r = 40^{(1/20)} $$ $$ 1 + r = 40^{0.05} \approx 1.2041 $$ $$ r \approx 0.2041 $$

결론: 20년 동안 100만 원을 4,000만 원으로(40배) 불리기 위해서는 연평균 약 20.41%의 복리 수익률이 필요합니다. (참고: 자산이 40배가 되려면 2배씩 약 5.32번($2^{5.32} \approx 40$) 증식해야 합니다. 워런 버핏의 장기 연평균 수익률이 약 20% 수준임을 감안할 때, 이는 현실적으로 매우 달성하기 어려운 목표입니다.)